С первым вопросом разобрался сам: отследил, какие запросы куда отправляются (при добавлении в корзину и при её очистке). Теперь выполняю их через $.ajax.
Со вторым разобрался с вашей помощью: в submit.class.php немного изменил функции initialize, validateFields и getFields.
Вроде всё работает, осталось только окно оформить и всё.
Спасибо за помощь!